Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)

Содержание

Правила комбинаторики в задаче B6

Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)

29 декабря 2011

Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:

где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов (см. «Тест по теории вероятностей»).

И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.

Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на помощь приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.

В сегодняшнем уроке не будет строгих формулировок и длинных теорем — они слишком сложны и, к тому же, совершенно бесполезны для решения настоящих задач B6. Вместо этого мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ. Итак, поехали!

Число сочетаний и факториалы

Пусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из n элементов по k. Это число обозначается Cnk и считается по специальной формуле.

Обозначение:

Выражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 · 2 · 3 · … · n.

Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1 — подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.

Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.

К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает число n, а где — k. Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).

Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:

Задача. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?

Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:

Задача. В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:

Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.

Задача. На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги своровал и купил дочке шубу из меха соболя за 200 000 рублей. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?

В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть n = 17 серверов, а директору надо k = 14 серверов. Считаем число сочетаний:

Красным цветом снова обозначены множители, которые сокращаются. Итого, получилось 680 комбинаций. В общем, директору есть из чего выбрать.

Как видите, число сочетаний из n по k считается достаточно просто. Проблема в том, что многие школьники никогда не работали с факториалами. Для них это новый и незнакомый математический объект, и для его освоения требуется некоторая тренировка.

Хорошая новость состоит в том, что во многих задачах формулы Cnk оказывается вполне достаточно для нахождения ответа. Но есть и плохая новость: в тех редких случаях, когда нужны дополнительные правила, решение задачи резко усложняется. Эти правила мы сейчас и рассмотрим.

Закон умножения

Закон умножения в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.

Другими словами, пусть имеется A способов выполнить одно действие и B способов выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить первое и второе действие по формуле: C = A · B.

Задача. У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить сигарету за 11 рублей у бабули в подземном переходе. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?

Итак, сначала Петя достает k = 1 монету из n = 4 имеющихся монет номиналом 1 рубль. Число способов сделать это равно C41 = … = 4.

Затем Петя снова лезет в карман и достает k = 1 монету из n = 2 имеющихся монет номиналом 10 рублей. Здесь число сочетаний равно C21 = … = 2.

Поскольку эти действия независимы, общее число вариантов равно C = 4 · 2 = 8.

Задача. В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?

Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C82 = … = 28 различными способами.

Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равно C122 = … = 66.

Поскольку выбор белого шара и выбор черного — события независимые, общее число комбинаций считается по закону умножения: C = 28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.

Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых — при условии, что все они независимы.

Именно этой формулы многим не хватило для решения задачи B6 на пробном ЕГЭ по математике. Разумеется, существуют и другие методы решения, в которых комбинаторика не используется — и мы обязательно рассмотрим их ближе к настоящему экзамену. Однако ни один из них не сравнится по надежности и лаконичности с теми приемами, которые мы сейчас изучаем.

Закон сложения

Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.

Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» — это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

Аналогично, события «Выбранный наугад шар — белый» и «Выбранный наугад шар — черный» также являются взаимоисключающими.

Закон сложения в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить A и B способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить X = A + B способами.

Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

Можно сказать, что закон сложения — это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения — это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.

Задача. В корзине лежат 9 черных шаров и 7 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?

Если шары одинакового цвета, то вариантов немного: оба они либо черные, либо красные. Очевидно, что эти варианты — взаимоисключающие.

В первом случае мальчику предстоит выбирать k = 2 черных шара из n = 9 имеющихся. Число способов сделать это равно C92 = … = 36.

Аналогично, во втором случае выбираем k = 2 красных шара из n = 7 возможных. Число способов равно C72 = … = 21.

Осталось найти общее количество способов. Поскольку варианты с черными и красными шарами — взаимоисключающие, по закону сложения имеем: X = 36 + 21 = 57.

Задача. В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет?

По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае, k = 3.

В случае с розами придется выбирать из n = 15 вариантов, поэтому число сочетаний равно C153 = … = 455. Для тюльпанов же n = 18, а число сочетаний — C183 = … = 816.

Поскольку розы и тюльпаны — это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов X = 455 + 816 = 1271. Это и есть ответ.

Дополнительные условия и ограничения

Очень часто в тексте задачи присутствуют дополнительные условия, накладывающие существенные ограничения на интересующие нас сочетания. Сравните два предложения:

  1. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?
  2. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?

Чувствуете разницу? В первом случае мы вправе брать любые цвета, какие нам нравятся — дополнительных ограничений нет. Во втором случае все сложнее, поскольку мы обязаны выбрать ручку красного цвета (предполагается, что она есть в исходном наборе).

Очевидно, что любые ограничения резко сокращают итоговое количество вариантов. Ну и как в этом случае найти число сочетаний? Просто запомните следующее правило:

Пусть имеется набор из n элементов, среди которых надо выбрать k элементов. При введении дополнительных ограничений числа n и k уменьшаются на одинаковую величину.

Другими словами, если из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется из n = 5 − 1 = 4 элементов по k = 3 − 1 = 2 элемента. Таким образом, вместо C53 надо считать C42.

Теперь посмотрим, как это правило работает на конкретных примерах:

Задача. В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, надо выбрать 4 человека для участия в конференции. Сколькими способами можно выбрать этих четверых, если отличники обязательно должны попасть на конференцию?

Итак, есть группа из n = 20 студентов. Но выбрать надо лишь k = 4 из них. Если бы не было дополнительных ограничений, то количество вариантов равнялось числу сочетаний C204.

Однако нам поставили дополнительное условие: 2 отличника должны быть среди этих четырех. Таким образом, согласно приведенному выше правилу, мы уменьшаем числа n и k на 2. Имеем:

Задача. У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?

Итак, есть n = 8 монет. Петя перекладывает k = 3 монеты, из которых 2 — десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа n и k надо уменьшить на 2. Имеем:

В обоих примерах я намеренно пропустил детали работы с факториалами — попробуйте выполнить все расчеты самостоятельно. Разумеется, для этих задач существуют и другие способы решения. Например, с помощью закона умножения. В любом случае, ответ будет один и тот же.

В заключение отмечу, что в первой задаче мы получили 153 варианта — это намного меньше, чем исходные C204 = … = 4845 вариантов. Аналогично, 3 монеты из 8 можно переложить C83 = … = 56 способами, что значительно больше 6 способов, которые мы получили в последней задаче.

Эти примеры наглядно демонстрируют, что введение любых ограничений значительно сокращает нашу «свободу выбора».

Элементы комбинаторики: размещение, сочетание, перестановки и комбинации с повторением

Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)

Среди соединения различают основные виды: размещения, перестановки, комбинации, а также их виды с повторениями. Дальше мы более подробно рассмотрим каждый из этих видов соединения.

Размещение элементов комбинаторики

Пусть даны три элемента . Из них можно создать такие соединения:

1) по одному элементу: ;

2) по два элемента: ;

3) по три элемента: .

Если, например, рассматривать соединения по два элемента, тогда некоторые из них отличаются элементами ( и ), другие – порядком элементов и . Такие соединения называются размещением из 3 элементов по 2.

Число размещений обозначается . Из вышеописанного, мы видим, что , , .

Число всех возможных размещений из элементов по равняется произведению последовательных натуральных чисел, из которых большее число , то есть:

.

(1)

Действительно, пусть нам дано элементов: .

Рассмотрим размещение по одному элементу. Понятно, что их будет , то есть .

Теперь рассмотрим, какие возможные размещения по 2 элемента. Чтобы их получить, мы допишем к каждому из данных элементов ещё по одному, которые брались из остальных  элементов. Так, к элементу  допишем последовательно остальные элементы: ; к элементу последовательно остальные элементы: и т. д.

Получим все размещения из элементов по 2:

Записано строк, а число всех размещений в каждом из этих строк . Общее количество всех размещений равняется произведению на , то есть:

.

Чтобы получить рзмещение по 3 элемента в каждом, нам нужно к каждой из записанных пар элементов приобщить ещё по одному элементу из элементов, что остались.

Например, к необходимо приобщить один из элементов . Тогда всех размещений по 3 элемента будет:

и т. д.

Иногда встречаются задачи на размещение с повторениями.

Число размещений с повторениями обозначаются через  и вычисляются по формуле:

.

(2)

Перестановка элементов комбинаторики

Согласно с определением:

.

Произведение всех натуральных чисел от до обозначается , а читается ( факториал).

Таким образом,

.

Тогда формула для вычисления количества перестановок запишется:

(3)

При этом имеется ввиду, что .

Обратите внимание! Иногда встречается обозначение . Принято считать, что .

Комбинации или сочетание элементов комбинаторики

Число комбинаций вычисляется по формуле:

(4)

Формулу (4) объясним на таком примере:

Пусть даны 4 элемента , комбинациями из этих элементов по будут:

.

Порядок элементов в комбинации роли не играет. Если в каждой из этих комбинаций сделать всевозможные перестановки, тогда у нас получатся всевозможные размещения из 3 элементов:

Число таких размещений равняется .

Таким образом, число всех размещений из элементов по равняется числу всех возможных сочетаний элементов по , умноженному на число всех перестановок, которые можно сделать из элементов, то есть:

,

откуда получается формула (4).

Посмотрите пример:

.

Умножим числитель и знаменатель в формуле (4) на . Тогда получим:

В итоге получаем:

(5)

По определению принимают . Это определение можно получить из формулы (5), если принять во внимание, что .

При вычислении числа комбинаций иногда удобно пользоваться соотношением:

(6)

Действительно, если по формуле (5) записать , тогда получим:

(7)

Последнее выражение совпадает с правой частью в формуле (5).

Отметим ещё, что числа – это коэффициенты в биноме Ньютона:

(8)

причём согласно с равенством (6) коэффициенты, равноотдалённые от окончания в формуле (8), равные между собой, то есть:

, , и т. д.

Перестановки и комбинации с повторениями

 Иногда бывают перестановки с повторениями: , которые можно образовать из элементов, среди которых одинаковых элементов 1-го типа, одинаковых элементов 2-го типа, и т. д. одинаковых элементов к-го типа, причём находятся по формуле:

(9)

Теперь рассмотрим комбинации с повторениями.

Число комбинаций с повторениями (обозначается ) из по элементов есть такие соединения по элементов в каждой (элементы могут повторяться), которые выбираются из элементов типов, причём порядок элементов не учитывается, и находится по формуле:

(10)

где может быть .

Примеры решения задач с элементами комбинаторики

Пример 1

Задача

Студенты группы изучают 9 дисциплин по 3 пары ежедневно. Сколько существует способов, чтобы распределить пары на один день?

Решение

Все возможные способы распределения пар на день представляют собой, очевидно, все возможные размещения из 9 элементов по 3. Поэтому их количество равняется:

.

Ответ

Существует 504 размещений.

Пример 2

Задача

Автомобильный номер состоит из 5 цифр (из такого набора: и двух букв. В соединении из букв для номеров автомобилей, какие зарегистрированы в Московской области, на первом месте стоит буква , а на втором месте одна из букв А, Б. В, И. К, Н. Сколько автомобильных номеров можно составить в области?

Решение

Числовая часть номера – один из размещений из по с повторениями. И количество:

Из них необходимо исключить размещение 000-00, так как такой номер не используется, то есть, всех числовых соединений будет:

.

Количество соединения букв 7. Первая буква фиксированная, тогда остаётся шесть. Общее число всех автомобильных номеров при изложенной системе равняется:

.

Ответ

Автомобильных номеров в одной области можно составить по числам – 99 999, а по буквам – 599994.

Пример 3

Задача

Сколько пятизначных телефонных номеров можно составить используя цифры 3, 4, 5, 6, 7 (без повторений)?

Решение

Так как каждый номер телефона складывается из 5 цифр, тогда такие номера будут отличаться только порядком цифр, то есть это будут перестановки, и их количество равняется:

.

Ответ

Всего можно составить 120 пятизначных номеров.

Пример 4

Задача

Сколько есть способов, чтобы заполнить карточку спортлото, в которой из 49 чисел необходимо выбрать 6?

Решение

Две заполненные карточки считаются разными, если среди выбранных 6 чисел они отличаются хотя бы одним числом, то есть это будут комбинации, и их количество равняется:

.

Ответ

Количество комбинаций =

Пример 5

Задача

Сколько есть способов, чтобы в данном тайме тренер смог бы выставить на поле 5 баскетболистов, если в команде 10 игроков, причём одного из ведущих игроков тренер планирует задействовать в игре не заменяя на другого игрока весь тайм?

Решение

Так как один из ведущих игроков должен находится на поле в игре весь тайм, тогда менять придётся только 4 игрока из оставшихся 9, то есть у нас получается:

Ответ

Есть 126 способов.

Пример 6

Задача

Сколько есть способов, чтобы расставить на первой горизонтальной шахматной доски такие фигуры: две ладьи, два коня, два слона, одного ферзя и одного короля?

Решение

Всего 8 фигур, причём , , , , , тогда:

.

Ответ

На первой горизонтальной шахматной доске с перестановками фигур можно расставить 5 040 раз.

Пример 7

Задача

Сколько разных соединений букв можно образовать, переставляя эти буквы:

1. В слове “мама”;

2. в слове параллелограмм.

Записать соединения букв.

Решение

1. В слове “мама” буквы, при этом две буквы “м”, и две буквы “а”. По формуле (9) всех перестановок будет:

.

А сами перестановки будут такими: “мама”, “маам”, амам”, “аамм”, “амма”.

2. В слове “параллелограмм” 12 букв, из них букв “а” – 3, “г” – 1, “е” – 1, “л” – 2, “м” – 1, “о” – 1, “п” – 1, “р” – 2. Всех перестановок будет:

.

Ответ

Всевозможных перестановок будет – .

Пример 8

Задача

На складе нужно получить 5 однотипных деталей, каждая из которых может быть покрашена в один из трёх цветов: красный, чёрный, зелёный. Сколько имеется способов, чтобы выбрать 5 деталей трёх цветов?

Решение

.

Ответ

Для того, чтобы выбрать 5 деталей 3 цветов, мы нашли 21 способ.

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)

Основными понятиями в комбинаторики являются понятия размещения, сочетания и перестановки. Введем их.

Определение 1

Всякий упорядоченный набор имеющий $k$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть размещением из $n$ по $k$.

Математически, такое размещение обозначается и вычисляется следующим образом:

$A_nk=frac{n!}{(n-k)!}$

Определение 2

Всякий упорядоченный набор имеющий $n$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть перестановкой из $n$.

Математически, такая перестановка обозначается и вычисляется следующим образом:

$P_n=n!$

Определение 3

Всякий неупорядоченный набор имеющий $k$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть сочетанием из $n$ по $k$.

Математически, такое сочетание обозначается и вычисляется следующим образом:

$C_nk=frac{n!}{(n-k)!k!}$

Основные понятия теории вероятностей

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 4

Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.

В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события. Это понятие имеет $4$ основных определения.

Классическое определение.

Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:

Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.

Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.

Определение 5

Вероятностью события будем называть отношения числа $n$ равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.

Математически это выглядит следующим образом:

$P(B)=frac{n}{N}$

Геометрическое определение.

Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример.

Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов. Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле).

Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек.

Пусть площадь центрального круга равняется $s$. Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:

$P(B)=frac{s}{S}$

Статистическое (частотное) определение.

Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей.

Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке).

Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда

$P(B)=lim_{N→∞}⁡frac{n}{N}$

Аксиоматическое определение.

Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.

Пусть $X$ – пространство всех элементарных событий. Тогда

Определение 6

Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Данная функция всегда неотрицательна,
  2. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
  3. Функция всегда меньше или равна $1$, причем $P(X)=1$.

Пример задач

Пример 1

В корзине лежат $10$ разных зерен для высадки цветов. Нам нужно посадить всего $4$ так как у нас есть всего $4$ горшка. Сколькими способами мы можем посадить цветы в эти горшки?

Решение.

Вначале нам нужно вытащить из корзины $4$ наугад попавшихся зерна. То есть здесь мы имеем дело с сочетанием из $10$ зерен по $4$.

Получаем:

$C_nk=frac{10!}{(10-4)!4!}=frac{10!}{6!4!}=frac{7cdot 8cdot 9cdot 10}{1cdot 2cdot 3cdot 4}=210$

Четыре же зерна посадить в $4$ горшка можно

$P_4=4!=24$

способами.

Для нахождения окончательного результата нужно перемножить эти два, получим:

$210cdot 24=5040$

Ответ: $5040$.

Пример 2

Найти вероятность того, что наугад вытащенная из колоды карта будет пиковой масти (сумма карт в колоде кратна $4$-м).

Решение.

Так как количество карт кратно четверке, то пусть всего карт будет $4k$. Тогда каждой масти карт будет $k$ штук (так как мастей $4$ и их количество одинаково).

При решении этой задачи будем использовать определение $5$. Во введенных нами обозначениях, получим что в определении $5$ мы будем иметь

$N=4k,n=k$

Следовательно

$P=frac{k}{4k}=frac{1}{4}$

Ответ: $frac{1}{4}$.

Теория вероятности формулы и примеры решения задач

Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.

е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

  1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
  2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
  3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
  4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику.

Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место.

Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя.

Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события.

Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.