Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Содержание

Основные законы распределения непрерывных случайных величин – MathHelpPlanet

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины , рассматриваемое как функции параметра (здесь и далее в этой части – мнимая единица).

Таким образом, характеристическая функция непрерывной случайной величины задаётся формулой

, где – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

2) характеристическая функция равна единицы при , то есть .

Плотность вероятности случайной величины можно выразить через её характеристическую функцию:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой.

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины.

Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой

(8.1)

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки (точка максимума). При уменьшении ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову.

Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых.

А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Таким образом, параметры и в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины.

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину.

Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой

Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина удовлетворяет неравенству .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности (см. раздел 4, часть 4), получаем

Положим , тогда

где — функция Лапласа.

Выполним некоторые числовые расчёты. Если положить в условии примера 1, то

Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к единице (0,9973), случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, не выходит за пределы интервала . Это утверждение называют правилом трёх сигм.

Наконец, если , то случайная величина, распределённая по нормальному закону с такими параметрами, называется стандартизированной нормальной величиной. На рис. 18 изображён график плотности вероятности этой величины

Примеры с использованием нормального закона распределения приведены также в части 9.

Логарифмически нормальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет логарифмически нормальное распределение (сокращённо логнормальное распределение), если её логарифм распределён нормально, то есть если , где величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Плотность логнормального распределения задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам

Кривая этого распределения изображена на рис. 19.

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач.

Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных пародах, численности рыб в море и т.д.

Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин:

то есть , где независимы.

Гамма-распределение

Говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и , если её плотность распределения вероятностей имеет вид

где — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра и (при получаем экспоненциальное распределение).

Математическое ожидание и дисперсия, подчинённые гамма-распределению, задаются формулами

Отметим, что при гамма-распределение имеет моду

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума , рис. 20).

Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами , то есть то есть плотность вероятности в этом случае

Используя свойства два плотности распределения ([url]см.[/url]), можно найти функцию распределения экспоненциального закона:

Основные характеристики (математическое ожидание и дисперсия) случайной величины , распределённой по экспоненциальному, имеют вид

Характеристическая функция экспоненциального распределения задаётся формулой

Кривая экспоненциального распределения вероятностей показана на рис. 21,а, а график функции распределения — на рис. 21,б.

Статистический смысл параметра состоит в следующем: есть среднее число событий на единицу времени, то есть есть средний промежуток времени между двумя последовательными событиями.

Экспоненциальное (показательное) распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, — время ожидания при техническом обслуживании или — продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и теории надёжности (например, — срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

Пример 2. Случайная величина — время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 ч, если среднее время работы радиолампы 400 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 400 ч, следовательно, . Искомая вероятность есть

Распределение Вейбула

Случайная величина подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Равномерный закон распределения

Случайная величина называется распределённой равномерно на отрезке , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности).

Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке ( — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал.

Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке , на участок , представляющий собой часть отрезка .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем

Графически вероятность представляется в виде площади заштрихованного прямоугольника на рис. 24.

Распределение хи-квадрат

Частный случай гамма-распределения с параметрами и называется распределением хи-квадрат с степенями свободы (пишут ). Если случайная величина подчиняется закону , то её плотность распределения вероятностей есть

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

Кривые распределения (для различных значений ) изображены на рис. 25.

Случайная величина , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

Пусть и — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно и . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с степенями свободы:

Заметим, что распределение при больших значениях с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому при больших значениях вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].

Распределение Стьюдента

Распределение хи-квадрат Случайная величина есть отношение двух независимых случайных величин и , то есть

Распределение случайной величины называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Его плотность задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента , есть

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений ) изображены на рис. 26.

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

Распределение Фишера

Пусть случайная величина равна отношению двух независимых случайных величин и , то есть

Распределение случайной величины называется распределением Фишера с и степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, определяется по формуле

Графики плотностей вероятностей распределения Фишера (для различных значений ) изображены на рис. 27.

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение.

Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины [cbm]X[/cbm] называется математическое ожидание комплексной случайной величины [cbm]e{isX}[/cbm] , рассматриваемое как функции параметра [cbm]s[/cbm] (здесь и далее в этой части [cbm]i[/cbm] – мнимая единица).

Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины [cbm]X[/cbm] задаётся формулой

[cbm]g(s)=intlimits_{-infty}{+infty}e{isx}f(x),dx[/cbm] , где [cbm]f(x)[/cbm] – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении [cbm]s[/cbm] характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

[cbm]|g(s)|leqslant1,~sinmathbb{R},;[/cbm]

2) характеристическая функция равна единицы при [cbm]s=0[/cbm] , то есть [cbm]g(0)=1[/cbm] .

Плотность вероятности случайной величины [cbm]X[/cbm] можно выразить через её характеристическую функцию:

[cbm]f(x)=frac{1}{2pi}intlimits_{-infty}{+infty}e{isx}g(s),ds.[/cbm]

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой.

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины.

Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

[cbm]M(X)=-ig'(0);quad D[X]=g'(0)-g''(0).[/cbm]

Unit 6 Probability Theory

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Web-версия учебного курса “Теория вероятностей”

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения.

Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0.5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения.
Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными.

Эти постоянные называются параметрами распределения.

Хотя в принципе возможны самые разные законы распределения, здесь будут рассмотрены несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих распределений.

  1 .   Равномерное распределение
Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0.

Рис 6.1 Функция и плотность равномерного распределения

Параметры распределения: a , b

  2 .   Нормальное распределение
Распределение с плотностью, описываемой формулой

                (6.1)

называется нормальным. (Рисунок 6.2)
Параметры распределения: a , σ

Рисунок 6.2 Типичный вид плотности и функции нормального распределения

  3 .   Распределение Бернулли
Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

                (6.2)

Здесь n – число испытаний в серии, m – случайная величина (число появлений события А), Рn(m) – вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 – р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример 1: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметры распределения: n , р

  4 .   Распределение Пуассона
Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а. Формально такой предельный переход приводит к формуле

                (6.3)

Параметр распределения: a

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.

Пример 2: число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа.

Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt ; будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt;

если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ.

Пример 3: число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V.

Разобьем объем V на малые объемы dV такие, что вероятность нахождения двух и более молекул в dV пренебрежимо мала, а вероятность нахождения одной молекулы пропорциональна dV: р = μdV; будем рассматривать наблюдение каждого объемчика dV как независимое испытание, число таких испытаний n=V/dV; если предполагать, что вероятности нахождения молекулы в любом месте внутри V одинаковы, полное число молекул в объеме V подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = V / dV, р = μdV. Устремив dV к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р =μV.

Числовые характеристики случайных величин

  1 .   Математическое ожидание (среднее значение)

Определение:
Математическим ожиданием называется
– для дискретной случайной величины:     (6.4)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

– для непрерывной случайной величины:;    (6.5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

Свойства математического ожидания:

a .   Если С – постоянная величина, то МС = С b .   МСх = СМх

c .   Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy d .

  Вводится понятие условного математического ожидания.

Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как или ;    (6.6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: ;    (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать “в лоб”

xi1           2          3        … k..    
p(xi) :  ,

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 – герб выпал в первый же раз, Н2 – в первый раз он не выпал.

Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½;   Мx / Н1 = 1;
Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.

5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

e .   Если f(x) – есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

– для дискретной случайной величины: ;    (6.8)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для непрерывной случайной величины:;    (6.9)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

  2 .   Дисперсия случайной величины
Определение:
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания:   Dx = M(x-Mx)2

– для дискретной случайной величины: ;    (6.10)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

– для непрерывной случайной величины: ;    (6.11)

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства дисперсии: a .   Если С – постоянная величина, то DС = 0

b .   DСх = С2Dх

c .   Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)
d .   Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

  Dx = Mx2 – (Mx)2      (6.12)

Связь числовых характеристик
и параметров типичных распределений

распределениепараметрыформулаMxDx
равномерноеa , b(b+a) / 2(b-a)2 / 12
нормальноеa , σaσ2
Бернуллиn , pnpnpq
Пуассонаaaa

47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Прирешении задач, которые выдвигаетпрактика, приходится сталкиваться сразличными распределениями непрерывныхслучайных величин.

Плотностираспределения непрерывных случайныхвеличин называютзаконами распределений.

Чащевсего встречаются законы равномерного,нормального и показательного распределений.

Распределениевероятностей называют равномерным,если наинтервале, которому принадлежат всевозможные значения случайной величины,плотность распределения сохраняетпостоянное значение.

Примерравномерно распределенной непрерывнойслучайной величины: шкала измерительногоприбора проградуирована в некоторыхединицах. Ошибку при округлении отсчетадо ближайшего целого деления можнорассматривать как случайную величинукотораяможет принимать с постоянной плотностьювероятности любое значение между двумясоседними целыми делениями. Такимобразом,имеетравномерное распределение.

Найдемплотность равномерного распределениясчитая,что все возможные значения случайнойвеличины заключены в интерваленакотором функциясохраняет постоянное значение

если

Должновыполняться соотношение

или

Графикфункции будет выглядеть следующимобразом (рис. 75).

Рис.75

Плотностьравномерного распределения

Вероятностьпопадания случайной величины винтервале

Функцияраспределения случайной величиныраспределеннойпо равномерному закону, есть

Еематематическое ожидание

дисперсия

Покажем,как получились данные формулы.

При

При

Равномерныйзакон распределения используется прианализе ошибок округления при проведениичисловых расчетов, ошибка округлениячисла до целого распределена на отрезкевряде задач массового обслуживания, пристатистическом моделировании наблюдений,подчиненных равномерному законураспределения.

Рассмотримпример. Поездаметрополитена идут регулярно с интервалом2 минуты. Пассажир выходит на платформув случайный момент времени. Каковавероятность того, что ждать пассажирупридется не больше половины минуты.Найти случайной величинывремени ожидания поезда.

времяожидания поезда на временном отрезке

47.4. Показательный закон распределения

Показательнымзаконом распределения называютраспределение вероятностей непрерывнойслучайной величины которыйописывается плотностью

гдет.е. показательное распределениеопределяется параметромЭтоявляется преимуществом по сравнению сраспределениями, зависящими от большогочисла параметров. Обычно параметрынеизвестны и приходится находить ихоценки.

Параметромнепрерывной случайной величины,распределенной по показательномузакону, может служить время междупоявлениями двух последних событийпростейшего потока.

Функцияраспределения показательного закона

Рассмотримпример. Написатьплотность и функцию распределенияпоказательного закона, если параметр

47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальнымназывают распределениевероятностей непрерывной случайнойвеличины, которое описывается плотностьюраспределения вероятностей

т.е.распределение определяется двумяпараметрами

Вероятностныйсмысл этих параметров: математическоеожидание;среднееквадратическое отклонение нормальнораспределенной случайной величины

Введемновую переменную

Первоеслагаемое равно нулю (так как под знакоминтеграла нечетная функция; пределыинтегрирования симметричны относительноначала координат); второе слагаемое –интеграл Пуассона

т.е.математическое ожидание нормальногораспределения равно параметру

Поопределению дисперсия непрерывнойслучайной величины, учитывая, чтоопределяетсяформулой

Графикплотности нормального распределенияназывают нормальнойкривой (кривой Гаусса) (рис.76).

Рис.76

КриваяГаусса

Изменениевеличины параметра неизменяет формы нормальной кривой, априводит лишь к сдвигу вдоль оси вправо,есливозрастает,и влево, еслиубывает.Максимум дифференциальной функциинормального распределения равен

Следовательно,с возрастаниеммаксимальнаяордината нормальной кривой убывает, асама кривая становится более пологой,т.е. сжимается к оси ;при убываниинормальная кривая становится более«островершинной» и растягивается вположительном направлении оси

Прилюбых значениях параметров иплощадь ограниченная нормальной кривойи осьюостаетсяравной единице. Принормальнуюкривую называют нормированной

Вероятностьпопадания в заданный интервал

Рассмотримпример. Случайнаявеличина распределенапо нормальному закону. МатематическоеожиданиеНайти вероятность того, чтоприметзначение, принадлежащее интервалу

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.