Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Содержание

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение.

Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины [cbm]X[/cbm] называется математическое ожидание комплексной случайной величины [cbm]e{isX}[/cbm] , рассматриваемое как функции параметра [cbm]s[/cbm] (здесь и далее в этой части [cbm]i[/cbm] – мнимая единица).

Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины [cbm]X[/cbm] задаётся формулой

[cbm]g(s)=intlimits_{-infty}{+infty}e{isx}f(x),dx[/cbm] , где [cbm]f(x)[/cbm] – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении [cbm]s[/cbm] характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

[cbm]|g(s)|leqslant1,~sinmathbb{R},;[/cbm]

2) характеристическая функция равна единицы при [cbm]s=0[/cbm] , то есть [cbm]g(0)=1[/cbm] .

Плотность вероятности случайной величины [cbm]X[/cbm] можно выразить через её характеристическую функцию:

[cbm]f(x)=frac{1}{2pi}intlimits_{-infty}{+infty}e{isx}g(s),ds.[/cbm]

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой.

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины.

Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

[cbm]M(X)=-ig'(0);quad D[X]=g'(0)-g''(0).[/cbm]

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины [cbm]X[/cbm] выражается формулой

[cbm]f(x)=frac{1}{sigmasqrt{2pi}}exp!left(-frac{(x-a)2}{2sigma2}
ight).[/cbm]

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки [cbm]x=a[/cbm] (точка максимума). При уменьшении [cbm]sigma[/cbm] ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову.

Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых.

А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

[cbm]M(X)=a;qquad D[X]=sigma2.[/cbm]

Таким образом, параметры [cbm]a[/cbm] и [cbm]sigma[/cbm] в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:

[cbm]f(x)=frac{1}{sqrt{2pi{D[X]}}}exp!left(-frac{(x-M(X))2}{2D[X]}
ight).[/cbm]

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины.

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину.

Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой

[cbm]g(s)=exp!left(ias-frac{1}{2}sigma2s2
ight).[/cbm]

Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина [cbm]X[/cbm] удовлетворяет неравенству [cbm]alpha0.end{cases}[/cbm] где [cbm]Gamma(a)=intlimits_{0}{infty}t{a-1}e{-t},dt[/cbm] — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра [cbm]a>1[/cbm] и [cbm]a [cbm]a>1[/cbm] гамма-распределение имеет моду

[cbm]M_o=frac{a-1}{b}[/cbm]

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума [cbm]x=M_o[/cbm] , рис. 20).

Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами [cbm]a=1;~b=lambda>0[/cbm] , то есть то есть плотность вероятности в этом случае

[cbm]f(x)=egin{cases}0,&xleqslant0;\lambda{e{-lambda{x}}},&x>0.end{cases}[/cbm]

Используя свойства два плотности распределения ([url]см.[/url]), можно найти функцию распределения [cbm]F(x)[/cbm] экспоненциального закона:

[cbm]F(x)=egin{cases}0,&x0[/cbm] , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

[cbm]f(x)=egin{cases}0,&xleqslant{a};\dfrac{n}{b}!left(dfrac{x-a}{b}
ight){n-1}exp!left[-!left(dfrac{x-a}{b}
ight)n
ight],&x>a.end{cases}[/cbm]

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

[cbm]M(X)=a+bGamma!left(1+frac{1}{n}
ight)!;qquad M_0=a+sqrt[n]{frac{n-1}{n}}.[/cbm]

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Равномерный закон распределения

Случайная величина [cbm]X[/cbm] называется распределённой равномерно на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

[cbm]f(x)=egin{cases}0,&xotin[a;b],\dfrac{1}{b-a},&xin[a;b].end{cases}[/cbm]

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности).

Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке [cbm][a;b][/cbm] ( [cbm]X[/cbm] — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал.

Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной [cbm]X[/cbm] , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

[cbm]M(X)=frac{a+b}{2};qquad D[X]=frac{(b-a)2}{12}.[/cbm]

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой

[cbm]g(s)=frac{1}{is(b-a)}(e{isb}-e{isa}).[/cbm]

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , на участок [cbm](alpha;eta)[/cbm] , представляющий собой часть отрезка [cbm][a;b][/cbm] .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем

[cbm]P{alpha30)[/cbm] с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием [cbm]n[/cbm] и дисперсией [cbm]2n[/cbm] . Поэтому при больших значениях [cbm]n[/cbm] вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение [cbm]chi2(n)[/cbm] играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].

Распределение Стьюдента

Распределение хи-квадрат Случайная величина [cbm]T(n)[/cbm] есть отношение двух независимых случайных величин [cbm]U[/cbm] и [cbm]sqrt{frac{chi2(n)}{n}}[/cbm] , то есть

[cbm]T(n)=Ucdot!left(frac{chi2(n)}{n}
ight){-1/2}.[/cbm]

Распределение случайной величины [cbm]T(n)[/cbm] называется распределением Стьюдента с [cbm]n[/cbm] степенями свободы. Его плотность задаётся формулой

[cbm]f(x)=frac{Gamma!left(frac{n+1}{2}
ight)}{sqrt{pi{n}},Gamma!left(frac{n}{2}
ight)}!left(1+frac{x2}{n}
ight){- frac{n+1}{2}}.[/cbm]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента [cbm]X=T(n)[/cbm] , есть

[cbm]M(X)=0;qquad D[X]=frac{n}{n-2}.[/cbm]

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений [cbm]n[/cbm] ) изображены на рис. 26.

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении [cbm]n[/cbm] распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

Распределение Фишера

Пусть случайная величина [cbm]F(n_1;n_2)[/cbm] равна отношению двух независимых случайных величин [cbm]frac{chi2(n_1)}{n_1}[/cbm] и [cbm]frac{chi2(n_2)}{n_2}[/cbm] , то есть

[cbm]F(n_1;n_2)=frac{chi2(n_1)/n_1}{chi2(n_2)/n_2}.[/cbm]

Распределение случайной величины [cbm]F(n_1;n_2)[/cbm] называется распределением Фишера с [cbm]n_1[/cbm] и [cbm]n_2[/cbm] степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

[cbm]f(x)=egin{cases}0,&xleqslant0;\dfrac{Gamma!left(frac{n_1+n_2}{2}
ight)}{Gamma!left(frac{n_1}{2}
ight)!Gamma!left(frac{n_2}{2}
ight)}!left(dfrac{n_1}{n_2}
ight){frac{n_1}{2}}!dfrac{x{frac{n_1}{2}-1}}{left(1+frac{n_1}{n_2}x
ight){frac{n_1+n_2}{2}}},&x>0.end{cases}[/cbm]

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, [cbm]X=F(n_1;n_2)[/cbm] определяется по формуле

[cbm]M(X)=frac{n_2}{n_2-2},~~n_2>2.[/cbm]

Графики плотностей вероятностей распределения Фишера (для различных значений [cbm]n_1,n_2[/cbm] ) изображены на рис. 27.

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения

[cbm]T2(n)=F(1;n),quad F(n;infty)=frac{chi2(n)}{n},quad chi2(1)=U2.[/cbm]
Перейти к следующему разделу
Предельные теоремы теории вероятностей

47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины

Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Прирешении задач, которые выдвигаетпрактика, приходится сталкиваться сразличными распределениями непрерывныхслучайных величин.

Плотностираспределения непрерывных случайныхвеличин называютзаконами распределений.

Чащевсего встречаются законы равномерного,нормального и показательного распределений.

Распределениевероятностей называют равномерным,если наинтервале, которому принадлежат всевозможные значения случайной величины,плотность распределения сохраняетпостоянное значение.

Примерравномерно распределенной непрерывнойслучайной величины: шкала измерительногоприбора проградуирована в некоторыхединицах. Ошибку при округлении отсчетадо ближайшего целого деления можнорассматривать как случайную величинукотораяможет принимать с постоянной плотностьювероятности любое значение между двумясоседними целыми делениями. Такимобразом,имеетравномерное распределение.

Найдемплотность равномерного распределениясчитая,что все возможные значения случайнойвеличины заключены в интерваленакотором функциясохраняет постоянное значение

если

Должновыполняться соотношение

или

Графикфункции будет выглядеть следующимобразом (рис. 75).

Рис.75

Плотностьравномерного распределения

Вероятностьпопадания случайной величины винтервале

Функцияраспределения случайной величиныраспределеннойпо равномерному закону, есть

Еематематическое ожидание

дисперсия

Покажем,как получились данные формулы.

При

При

Равномерныйзакон распределения используется прианализе ошибок округления при проведениичисловых расчетов, ошибка округлениячисла до целого распределена на отрезкевряде задач массового обслуживания, пристатистическом моделировании наблюдений,подчиненных равномерному законураспределения.

Рассмотримпример. Поездаметрополитена идут регулярно с интервалом2 минуты. Пассажир выходит на платформув случайный момент времени. Каковавероятность того, что ждать пассажирупридется не больше половины минуты.Найти случайной величинывремени ожидания поезда.

времяожидания поезда на временном отрезке

47.4. Показательный закон распределения

Показательнымзаконом распределения называютраспределение вероятностей непрерывнойслучайной величины которыйописывается плотностью

гдет.е. показательное распределениеопределяется параметромЭтоявляется преимуществом по сравнению сраспределениями, зависящими от большогочисла параметров. Обычно параметрынеизвестны и приходится находить ихоценки.

Параметромнепрерывной случайной величины,распределенной по показательномузакону, может служить время междупоявлениями двух последних событийпростейшего потока.

Функцияраспределения показательного закона

Рассмотримпример. Написатьплотность и функцию распределенияпоказательного закона, если параметр

47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальнымназывают распределениевероятностей непрерывной случайнойвеличины, которое описывается плотностьюраспределения вероятностей

т.е.распределение определяется двумяпараметрами

Вероятностныйсмысл этих параметров: математическоеожидание;среднееквадратическое отклонение нормальнораспределенной случайной величины

Введемновую переменную

Первоеслагаемое равно нулю (так как под знакоминтеграла нечетная функция; пределыинтегрирования симметричны относительноначала координат); второе слагаемое –интеграл Пуассона

т.е.математическое ожидание нормальногораспределения равно параметру

Поопределению дисперсия непрерывнойслучайной величины, учитывая, чтоопределяетсяформулой

Графикплотности нормального распределенияназывают нормальнойкривой (кривой Гаусса) (рис.76).

Рис.76

КриваяГаусса

Изменениевеличины параметра неизменяет формы нормальной кривой, априводит лишь к сдвигу вдоль оси вправо,есливозрастает,и влево, еслиубывает.Максимум дифференциальной функциинормального распределения равен

Следовательно,с возрастаниеммаксимальнаяордината нормальной кривой убывает, асама кривая становится более пологой,т.е. сжимается к оси ;при убываниинормальная кривая становится более«островершинной» и растягивается вположительном направлении оси

Прилюбых значениях параметров иплощадь ограниченная нормальной кривойи осьюостаетсяравной единице. Принормальнуюкривую называют нормированной

Вероятностьпопадания в заданный интервал

Рассмотримпример. Случайнаявеличина распределенапо нормальному закону. МатематическоеожиданиеНайти вероятность того, чтоприметзначение, принадлежащее интервалу

Необходимо знать следующие распределения случайных величин:

Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Необходимо знать следующие распределения случайных величин:

а)биномиальное(Бернулли)  г)равномерное

б)Пуассона                д)показательное               

в)геометрическое          е)нормальное

                          (закон Гаусса)

Биномиальный закон распределения

   Определение.  Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p[0,1], что символически обозначается как X ~ Bi(n, p), если вероятности того, что она примет значения 0,1,2,…,m,…, n, соответственно равны: ,где: q=1-p.

Отметим, что выражение  представляет собой формулу Бернулли.  Напомним, что формула Бернулли определяет вероятность того, что при проведении n испытаний (по схеме Бернулли), некоторое событие (вероятность появления которого равна p) произойдет ровно m раз.

Построим ряд распределения:

012mn

Проверим корректность записи закона распределения, для чего рассмотрим сумму всех вероятностей, стоящих во второй строке таблицы. Заметим, что эта строка содержит элементы разложения бинома Ньютона:

Поскольку , то:.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, соответственно равны: ,.

Закон распределения Пуассона

   Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром , что символически обозначается как , если вероятности того, что она примет значения 0,1,2,…,m,  соответственно равны:

.

Построим ряд распределения:

012m

Проверим корректность записи закона распределения, для чего рассмотрим сумму всех вероятностей, стоящих во второй строке таблицы:

Заметим, что выражение  представляет собой разложение в ряд функции  при , т.е.: .

Поэтому: .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, соответственно равны: M(X) = λ, D(X) = λ. Это характерная особенность распределения Пуассона.

Геометрическое распределение

   Определение.  Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если вероятность того, что она примет значение 1,2,3,…(счетное множество значений) соответственно равна: ,

где: p(0,1);  q=1-p.

Построим ряд распределения:

123m

Проверим корректность записи закона распределения, для чего рассмотрим сумму всех вероятностей, стоящих во второй строке таблицы:

Заметим, что выражение  представляет собой сумму членов геометрической прогрессии (откуда и происходит название геометрического распределения) с первым членом, равным единице и знаменателем q. Используя известную формулу суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии, получим:.

Откуда:.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по геометрическому закону, соответственно равны:,  .

Геометрическое распределение тесно связано со схемой испытаний Бернулли, а, следовательно, с биномиальным распределением. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность m успехов в n испытаниях, а геометрическая – вероятность m  испытаний до первого успеха (включая первый успех).

Основные законы распределения непрерывных случайных величин – MathHelpPlanet

Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины , рассматриваемое как функции параметра (здесь и далее в этой части – мнимая единица).

Таким образом, характеристическая функция непрерывной случайной величины задаётся формулой

, где – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

2) характеристическая функция равна единицы при , то есть .

Плотность вероятности случайной величины можно выразить через её характеристическую функцию:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой.

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины.

Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

Логарифмически нормальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет логарифмически нормальное распределение (сокращённо логнормальное распределение), если её логарифм распределён нормально, то есть если , где величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Плотность логнормального распределения задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам

Кривая этого распределения изображена на рис. 19.

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач.

Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных пародах, численности рыб в море и т.д.

Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин:

то есть , где независимы.

Гамма-распределение

Говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и , если её плотность распределения вероятностей имеет вид

где — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра и (при получаем экспоненциальное распределение).

Математическое ожидание и дисперсия, подчинённые гамма-распределению, задаются формулами

Отметим, что при гамма-распределение имеет моду

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума , рис. 20).

Распределение Вейбула

Случайная величина подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Распределение хи-квадрат

Частный случай гамма-распределения с параметрами и называется распределением хи-квадрат с степенями свободы (пишут ). Если случайная величина подчиняется закону , то её плотность распределения вероятностей есть

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

Кривые распределения (для различных значений ) изображены на рис. 25.

Случайная величина , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

Пусть и — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно и . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с степенями свободы:

Заметим, что распределение при больших значениях с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому при больших значениях вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом [url]см. часть 11[/url].

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.